Áp dụng nội suy Newton để tạo hàm cho các bảng tra

Tóm tắt phương pháp

Nếu biết trước n điểm (X1,Y1); (X2,Y2); ...; (Xn,Yn), đa thức nội suy có thể viết thành

y = A1 + A2*(x-X1) + A3*(x-X1)*(x-X2) + ... + An*(x-X1)*(x-X2)*...*(x-Xn-1)

Việc tiếp theo là phải tìm ra A1, A2, .., An

Để tìm A1, thay x = X1 và y = Y1 vào biểu thức, ta tìm được A1 = Y1

Để tìm A2, thay x = X2 và y = Y2 vào biểu thức, ta tìm được A2 = (Y2-A1)/(X2-X1) với A1 đã tìm được phía trên

Lần lượt cho đến khi thay x = Xn-1 và y = Yn-1 ta sẽ tìm được An-1

Cuối cùng khi thay x = Xn, y = Yn ta sẽ tìm ra được An

Sau khi tìm được đầy đủ các hệ số, ta có thể phân tích đa thức để đưa về dạng y = C1 + C2*X + C3*X² + ... + *X^n-1

Áp dụng

Việc chọn đa thức nội suy phụ thuộc vào dạng biểu đồ, thông thường chi cần dùng một hàm bậc 3 là đã đủ để miêu tả một đường cong đơn giản, nghĩa là chỉ cần chọn ra 4 điểm để thay vào đa thức nội suy.

Ví dụ đối với biểu đồ trong hình G1 của TCVN 10304:2014, như hình phía dưới, ta chỉ cần chọn ra 4 điểm, trong đó có 2 đầu mút của biểu đồ và 2 vị trí ở khoảng giữa

Tôi chọn trên đồ thị 4 điểm có giá trị lần lượt là (các điểm này được tra bằng thủ công, dóng trên biểu đồ, ước lượng một giá trị gần đúng)

• X1 = 40; Y1 = 1
• X2 = 100; Y2 = 0.52
• X3 = 160; Y2 = 0.36
• X2 = 200; Y2 = 0.33

Đa thức nội suy có thể viết thành

y = A1 + A2*(x-40) + A3*(x-40)*(x-100) + A4*(x-40)*(x-100)*(x-160)

Khi thay x = 40 và y = 1; ta thu được A1 = 1

Tiếp tục thay x = 100 và y = 0.52, ta thu được A2 = -0.008

Tiếp tục thay x = 160 và y = 0.36, ta thu được A3 = 0.000038125

Cuối cùng thay x = 200 và y = 0.33, ta thu được A4 = -0.0000001579861

Thay A1, A2, A2, A4 vào đa thức trên và triển khai, ta thu được hàm nội suy bậc 3 có dạng: y = C1 + C2*x + C3*X² + C4*X³, trong đó:

• C1 = 1.598888888888890
• C2 = -0.018393055555556
• C3 = 0.000091840277778
• C4 = -0.000000157986111

Từ hàm nội suy thu được, ta có thể tái tạo lại đồ thị và so sánh như hình phía dưới, kết quả như chúng ta có thể thấy: